Skalar Vektor , Aljabar Vektor ,Sistem Koordinat Cartesian, Komponen Vektor dan Vektor Satuan, Medan Vektor

• Skalar merupakan besaran yang dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan nyata.

Simbol x, y, dan z dalam aljabar dasar merupakan skalar.

Contoh lain : massa, kerapatan, tekanan (tetapi gaya bukan), volume, temperatur, atau hambatan volume.

• Vektor (kuantitas vektor) mempunyai besaran (harga mutlak) dan arah dalam ruang berdimensi n.

Contoh : Gaya, kecepatan, percepatan, atau garis lurus yang menghubungkan kutub posisitf dan negatif  sebuah baterai.

Dalam kebanyakan buku :

Vektor   à huruf cetak tebal misalnya A.

Skalar  à huruf cetak tipis misalanya A.

• Medan (skalar atau vektor) dapat didefinisikan secara matematis sebagai fungsi dari vektor yang menghubungkan titik asal dengan titik sebarang dalam ruang. 
  Contoh medan skalar :
  •Temperatur dalam semangkuk sup, atau
  •kerapatan pada tiap titik di dalam bumi
  •  Aljabar Vektor

  

  
  

  Penjumlahan vektor mengikuti hukum jajaran genjang. Misalkan A + B = B + A
  
  

  Kaidah-kaidah aljabar vektor :

  
  

  •Bersifat komutatif   : A + B = B + A

  
  

  •Bersifat asosiatif  : A + (B + C) = (A + B) + C

  
  

  •Pengurangan  : A - B = A + (-B)

  
  

  •Perkalian vektor dengan skalar

  
  

     (r + s) (A + B)   = r (A + B) + s(A + B)

  
  

    = rA + r B + sA + sB

   
  

  •Pembagian vektor  dengan sebuah skalar berarti perkalian vektor tersebut dengan kebalikan dari skalar tersebut.

  
  

  •Pembagian vektor  dengan vektor  ?

  
  

  •Dua vektor dikatakan sama jika selisihnya sama dengan nol

  
  

     A = B  jika  A - B  = 0

  • Sistem Koordinat Cartesian
    Untuk menyatakan sebuah vektor dengan tepat harus diketahui :
  

  •Panjangnya

  
  

  •Arahnya

  
  

  •Sudutnya

  
  

  •Proyeksinya, atau

  
  

  •Komponennya
  

  Dalam sistem koordinat Cartesian, menggunakan tiga sumbu koordinat yang saling tegak lurus, yakni sumbu x, y, dan z.
   
   
   

•  Komponen Vektor dan Vektor Satuan

Vektor  r dalam koordinat Cartesian dinyatakan :

r = x + y + z    à    x, y, dan z komponen vektor r

 

Vektor  satuan adalah vektor  dengan besar satu satuan dan arahnya sejajar dengan arah sumbu koordinat pada arah bertambahnya harga koordinat.

•Jika vektor y besarnya dua satuan dan arahnya searah dengan bertambahnya harga y, dinyatakan :

  y = 2 ay

•Sebuah vektor rp arahnya ditentukan oleh penghubung antara titik asal dengan titik P(1, 2, 3)

   rp = ax + 2 ay + 3 az

•Sebuah vektor rQ arahnya ditentukan oleh penghubung antara titik asal dengan titik (2, -2, 1)

   rQ = 2 ax - 2 ay + az

•Maka vektor RPQ sebagai vektor yang menghubungkan antara rP dan rQ  dinyatakan :

   RPQ   = rQ - rP  = (2-1) ax + (-2 -2) ay + (1 - 3)az

   = ax - 4 ay - 2 az

•Sehingga sebuah vektor Gaya F dapat dinyatakan sebagai :

   F = Fx ax + Fy ay + Fz az

   Fx , Fy , dan Fz  komponen skalar

   Fx ax, Fy ay, dan Fz az  komponen vektor

•Jadi secara umum sebuah vektor B dapat dinyatakan sebagai :

   B = Bx ax + By ay + Bz az

 

  Besar vektor B, dapat dituliskan sebagai |B| atau B dan dapat dinyatakan :

vektor satuan dalam arah B menjadi :

 

Contoh : Diketahui tiga titik A(2, -3,1), B(-4, -2, 6), dan C(1, 5, -3), tentukanlah :

(a) Vektor dari A ke C, (b) Vektor satuan dari B ke A, dan (c) Jarak dari  B ke C.

 

• Medan Vektor

Misalkan kecepatan air laut dekat permukaan tempat pasang dan arus memegang peranan.

•Jika sumbu z dipilih ke arah atas, sumbu x ke arah utara, dan sumbu y ke arah barat.

•Persamaan kecepatan air laut dapat dituliskan :

   v = vx ax + vy ay + vz az

•Di daerah “Gulf Stream”, air hanya bergerak ke utara, sehingga vy  dan vz menjadi nol.

•Penyederhanaan lebih lanjut dapat dilakukan dengan menganggap kecepatan tersebut menurun terhadap kedalaman.

•Sehingga rumusan yang sesuai berbentuk :

•Dengan  demikian  diperoleh   kecepatan   sebesar 2 m/s pada permukaan, dan

  kecepatan sebesar 0,368 x 2 atau 0,736 m/s pada kedalaman 100 meter